2010年10月アーカイブ

子供は気がつくと大きくなっているもので、私の息子(高校1年)はいつの間にか180cmを超えていました。足も大きくなっていて27cmの靴を履いています。
玄関に並んだ靴を見ると、間違えて会社に履いて行く日も近いと感じてしまいます。

 

息子なので特徴が似るのは当たり前なのですが、足の形も良く似ています。
左が息子の足で右が私ので、両方とも偏平足です（涙）

実は私は身長が187cmほどあります。会う人に”ご両親もさぞ身長が高かったのですね”と尋ねられる事が多いのですが、父も母も160cm程度でした(昭和１ケタ台にしては高いほうだったかもしれません)。祖父や祖母は兄弟が多かったのですが、やはり180cmを超えている人は知っている限りでは誰もいません。“遠い祖先に海外の血が混じっているんじゃない”という友人もいます。確かに顔は濃いほうだし、その血が隔世遺伝で現れたのかもしれません。DNAの深いところに眠っていた情報があるとき、表面に現れることがあっても何の不思議も無いと思います。

私は旅行が好きで、妻とヨーロッパに出かけたときに不思議な思いをした事があります。初めてのはずの町並みがなんとなく懐かしく思うのです。そこの角を曲がると右側に小さい教会があって、左側が公園で・・・偶然だと思いますがその通りになっている時もありました。
（デジャヴと言うそうですが、こんな経験がある人もいると思います）

DNAは遺伝子であり体の設計図ともいいます。しかし、その設計図にはハードウエア情報だけでは無くソフトウエア情報、つまり記憶や感情も含まれているのではないかと思うのです。
感動した事はDNAに深く刻まれているので、未来に伝わるのだと思います。
（ヨーロッパのその小さな教会で、私の祖先は何を感動したのかは定かではありませんが）

遺伝子工学では、心と遺伝子スイッチの関係は既に明確なようです。
http://www.misson-spirit.net/koko-idenshi.html

感動し、感動させることを大切にしたいと玄関の靴を見て思いつつ、今回のネタに行きたいと思います。

 

アナログ回路設計をするうえで避けて通れない変換として、フーリエ変換があります。

“フーリエ変換”とは、フランスの数学者であるフーリエが発見した定理のフーリエ積分を利用した、時間領域（波形）と周波数領域（波形）の変換公式です。

つまり、“フーリエ変換”は時間軸の波形を、周波数軸のグラフに変換することです。
逆に周波数軸のグラフを時間軸の波形に変換することを“逆フーリエ変換”と呼びます。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

フーリエ変換の根底にある基本原理は、「全ての周期的な波形は、様々な周波数の正弦波の組み合わせで成り立っている」です。
要は、波形がどういう周波数と位相の正弦波に分解できるかを計算するのがフーリエ変換で、色んな周波数と位相の正弦波を足し合わせるとどんな波形になるかを計算するのが逆フーリエ変換です。

世の中の全ての出来事は、時間と共にその量が変化しているに過ぎないとすれば、この変換はアナログ設計をする上でだけではなく、世の中の現象を理解/分析するために非常に有効な変換だと思います。

基本的な公式は色々な文献に載っていますが、次の公式が一般的と思います。

 

 

 

 

 

 

 

ここで、A(ω)とB(ω)は実部と虚部なので、振幅と位相成分は、

 

 

 

となります。例えば、ある波形に10KHzの実部がどの位入っているかは、波形f(t)とcos(2π10K t)を掛け算して、時間を-∞から＋∞まで積分すれば良いって事になります。虚部はsin(2π10K t)を掛け算して同じように-∞から＋無限大まで積分すれば良いのです。

それでは逆はどうなるかと言うと、似たような感じですが次のようになります。

 

 

 

 

 

 

 

 

つまり、周波数特性を実部と虚部に分けて、実部にはcosωtを虚部にはsinωtを掛け算し、全周波数帯に対して積分する（たし合わせる）と元の波形に戻ることになります。

この面倒な計算を電卓で行うことは非常に手間がかかるので、かなり昔になるのですが、変換が簡単に出来る“手作りアプリ”Visual Basic で作りました。

このアプリを使って、波形と周波数特性の特徴を説明したいと思います。

 

 

 

 

 

 

 

当たり前のことですが、100MHzの正弦波（左）を変換すると100MHzの周波数成分（右）しか出てきません。

 

 

 

 

 

 

 

三角波にすると、奇数次の高調波が出てきます。

 

 

 

 

 

 

 

矩形波でも奇数次の高調波が出ますが、その量が三角波のときより多いようです。

 

 

 

 

 

 

 

矩形波のDutyを少しずらし（‘1’の時間を少し短くした）ら、偶数次の高調波も出てきました。
ここら辺りまでは、教科書に良く出てきますし、覚えている人も多いと思います。
何でそうなるかについては、色んな本や教科書が触れているのでここでは省略させてください。

 

 

 

 

 

 

 

一つだけ‘1’を抜いてみました・・・色々な周波数成分が増えました。
(Dutyは100％に戻しているので、偶数次の高調波は出なくなります)
左の波形は少ししか変化していないのに、非常に複雑な周波数成分を持つことになります。

 

 

 

 

 

 

 

 

更にもう一つbitを抜くと・・・周波数成分は更に複雑になります。

どんな波形がどんな周波数成分を持っているかを頭で計算（イメージ）できるのは（D）辺りまでで、（E）、（F）は計算機に頼るしかないように思います。

このアプリを作った目的は、フーリエ変換をするためではなく、フィルタを設計するためです。
アナログ回路の入力される信号は小さくてノイズに埋もれていて、波形も歪んでいることが多いです。そのため雑音の中から必要な信号を取り出し、歪んだ波形を正常に戻すためにフィルタを入れます（これがアナログ回路の仕事です）。
このアプリの目的は、フィルタをどのような周波数特性にしたら良いかを計算することでした。

次回は実際にフィルタを計算で求めて、周波数特性と波形の関係についてもう少し触れたいと思います。